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波兰数学家有个梦想，就是绝对不当其他国家数学的仆从，波兰人需要有属于自己的数学。

波兰数学领军人物，华沙学派的库拉托夫斯基与里沃夫学派的巴拿赫的在咖啡馆里聊起很多问题，除了集合论和拓扑学的很多问题，还有图论问题。

库拉托夫斯基对巴拿赫说：“图论的发展如火如荼，很多数学问题都要有意无意的跟图论联系起来。”

巴拿赫说：“是的，只是这个其中免不了很多问题。”

库拉托夫斯基说：“如果没有问题了，图论可能会一统数学江湖。毕竟图论也可以更好的表示拓扑学的东西。”

巴拿赫说：“那你能用笔画出立体的图吗？毕竟很多问题的图论难以在平面中很好的表达。”

库拉托夫斯基说：“尽量不要画立体的图。把立体的图转化成平面的图不就可以了。”

巴拿赫说：“当然是需要这样了，可也得弄清了什么样的图才能彻底用平面来表示？”

库拉托夫斯基在纸上画出了两个图，一个是五角星的五个点，让每两个线相连的。还有就是2*3阵列的6个点，并排的三个点之间不相连，而与对面的三个点都是两两相连的。

库拉托夫斯基说：“第一个是k5图，第二个是k33图。”

巴拿赫说：“这两个图，都是典型的没法画在一个平面内不相交的图。”

库拉托夫斯基说：“如果图里的形状没有一个部分是同胚于这两个图的，那这个图一定可以表示在一个平面内。”即一个图是平面图的充分必要条件是这一图不包含任何同胚于k5或k3，3的子图。

巴拿赫笑着说：“看来你是早有准备，这个已经证明了吗？”

库拉托夫斯基说：“我在1930年就证明了它。”

巴拿赫说：“布线中会常常遇到这个问题，只是实际应用较困难。”

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