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第三百三十三章 莫比乌斯反演数论（第1页）

奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯自打跟克莱因讨论的翻转这个事情以来，自己在很多问题上都想找到各种奇思妙想的翻转。

其中一个是关于数论中因子分解的翻转，就是莫比乌斯反演。

莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。

莫比乌斯研究如下函数：

f（1）=f（1）

f（2）=f（1）+f（2）

f（3）=f（1）+f（3）

f（4）=f（1）+f（2）+f（4）

f（5）=f（1）+f（5）

f（6）=f（1）+f（2）+f（3）+f（6）

f（7）=f（1）+f（7）

f（8）=f（1）+f（2）+f（4）+f（8）

反演变化过来时以下情况：

f（1）=f（1）

f（2）=f（2）-f（1）

f（3）=f（3）-f（1）

f（4）=f（4）-f（2）

f（5）=f（5）-f（1）

f（6）=f（6）-f（3）-f（2）+f（1）

f（7）=f（7）-f（1）

f（8）=f（8）-f（4）

后来的莫比乌斯函数用在黎曼猜想j（x）公式里。

μ（1）=

1

μ（n）=

（如果

n

可以被任一素数的平方整除）

μ（n）=-1

（如果

n

是奇数个不同素数的乘积）

μ（n）=

1

（如果

n

是偶数个不同素数的乘积）。

因此知道了

j（x）就可以计算出π（x），即素数的分布函数。把这些步骤连接在一起，我们看到，从

ζ（x）到

j（x），再从

j（x）到π（x），素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了

riemann

ζ函数之中。这就是

riemann

研究素数分布的基本思路。

莫比乌斯反演用在黎曼猜想上，就充分说明了在黎曼猜想上，有一个更加深刻的反演的东西，这也许是莫比乌斯和克莱因要寻找的那种反演的东西。

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