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卡拉比-丘空间的热潮，始于

1984年，当时的物理学家，开始了解到这些复空间或会用于新兴的理论上。

热情持续了几年，便开始减退了。

可是到了上世纪

80年代末期，格林恩（brian

greene）、普列瑟（ronen

plesser）、坎德拉斯等人开始研究镜对称（mirror

symmetry）时，卡拉比-丘空间又重新成为人们的焦点。

镜对称乃是两个具有不同拓朴的卡拉比-丘空间，看起来没有什么共通点，但却拥有相同的物理定律。

具有这样关系的两个卡拉比-丘空间称为“镜伴”（mirror

partner）。

1995年，史聪闵格、札斯洛（eric

zaslow）和我提出一个猜想，对卡拉比-丘空间的子结构提供洞识，为镜对称给出解释。根据这个

syz猜想的理论，六维卡拉比-丘空间本质上可以分成两个三维空间，其中之一是三维环面。

如果模仿把半径

r变成

1r的操作，把这些三维环面“翻转”，并与另一个三维空间结合起来，就会得到原卡拉比-丘空间的镜伴。

这个猜想提供了镜对称的几何图象，尽管目前只在一些特殊情况下被证明成立。

数学家把物理学家发现的镜关系搬过来，成为数学上强而有力的工具。

在某个卡拉比-丘空间上要解决的难题，可以放到它的镜伴上去考虑，这种做法往往奏效。

例如有一个求解曲线数目的问题，悬空了差不多一个世纪，就是这样破解的。

它使枚举几何学（enumerative

geometry）这一数学分支，重新焕发了青春。

这些进展令数学家对物理学家及弦论刮目相看。

镜对称是对偶性的一个重要例子。它就像一面窗，让我们窥见卡拉比-丘空间的隐秘。利用它，我们确定了在五次三维形（一种卡拉比-丘空间）上给定阶数的有理曲线的总数，这是一个非常困难的问题。

物理学家发现两个卡拉比-丘空间，虽然拓朴很不同，却可能对应到同一物理理论。这个性质称为镜对称，彼此对称的双方称为镜伴。

这一幕还说明了镜对称自有其深厚的数学基础。人们花了好几年，到了

1990年代中后期，镜对称的严格数学证明，包括坎德拉斯等人的公式，才由吉文塔（alexander

givental）以及连文豪-刘克锋-丘成桐各自独立完成。

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